为什么G为BF的三等分点？ - 知乎

　　点E，点F分别为BC，DC的中点

　　先看看正方形的场合。

　　如图是边长为1的正方形，由正方形的对称性， 的交点 一定在对角线（对称轴） 上，且 。

　　在 中，由正弦定理

　　所以 ，即正方形的场合中 是 的三等分点。

　　接着我们要使用一个定理：定比是仿射不变量。

　　所谓仿射不变量是指仿射变换前后保持不变的那些量，而仿射变换是坐标变换的一种，指的是形如 的坐标变换，它把点 变成了 。

　　证明非常简单，设变换前 ，点 分有向线段 的比为 （定比），即 ，则利用定比分点坐标公式， 。

　　经过仿射变换后， ，而 的分坐标为

　　，同理 。

　　再次利用定比分点坐标公式，可以发现 分有向线段 的比恰好仍是 ，所以 是仿射不变量。

　　也就是说，对正方形使用仿射变换后，不管它变成什么图形， 仍然是中点， 这个关系永远不变。那么正方形经过仿射变换可以变成什么图形呢？

　　将正方形上每一点的横坐标扩大 倍，纵坐标扩大 倍，即坐标变换公式为 ，满足 ，所以它是仿射变换。经过这样的变换，边长为1的正方形变成了长 宽 的矩形。所以对于任意一个矩形来说， 都是 的三等分点。

　　再将矩形上每一点进行变换 ，满足 ，所以它还是仿射变换。经过这样的变换，直线 上的任意一点 变成了 ，即直线 变成了直线 。同理，直线 变成了直线 。注意两直线的斜率相同，所以它们平行。另一方面，直线 和 都不变，且两直线仍然平行。所以经过这样的变换，长 宽 的矩形变成了底 高 的平行四边形。所以对于任意一个平行四边形来说， 都是 的三等分点。

　　题：如图 1， 分别是平行四边形 边 的中点， 相交于 求证： 图 1

　　先说明点 是 的三等分点，除了 @sumeragi693 用的仿射变换，或是 Menelaus 定理（或面积法，正弦定理等等，）还可以采用向量证明.

　　记 依题易知

　　再由点 三点共线，知 即 从而

　　事实上仿前半段三等分点的处理方式就可以证明 Menelaus 定理.